next up previous contents
Next: MCMC-menetelmät Up: Mihin tarvitaan MCMC-menetelmiä? Previous: Bayesilainen päättely

Odotusarvojen laskeminen MCMC-menetelmällä

Normalisoitu reunajakauma tarvittaisiin ainoastaan sen takia, että jakaumasta voitaisiin laskea integroimalla jonkin funktion odotusarvo. Monte Carlo -menetelmien ideana on, että mikä tahansa odotusarvo $E[h(\theta)\vert y]$ voidaan laskea mielivaltaisella tarkkuudella summana

\begin{displaymath}
E[h(\theta)\vert y] = \int_{\theta} h(\theta) p(\theta\vert y) d\theta
 \approx \frac{1}{N} \sum_i h(\theta^{(i)}),\end{displaymath} (4)

jossa $\theta^{(1)},\dots,\theta^{(N)}$ on jakaumasta $p(\theta\vert y)$tuotettu otos.

Markov Chain Monte Carlo -menetelmissä satunnaisarvojen tuottamiseksi tarvitsee ainoastaan tuntea jakauman todennäköisyyksien suhteita - ei niiden absoluuttisia arvoja. Toisin sanoen kaikki statistiikat saadaan laskettua jakaumasta ilman normalisointivakion laskemista.

Hyperparametrien yli ei myöskään tarvitse integroida, koska odotusarvo voidaan laskea yhtä hyvin jostakin yhteisjakaumasta $p(\theta,\phi\vert y)$ kuin reunajakaumasta $p(\theta\vert y)$. Jos jakaumasta $p(\theta,\phi\vert y)$ on tuotettu otos $\{ (\theta^{(1)},\phi^{(1)}), \ldots, (\theta^{(n)},\phi^{(n)})\}$,niin




Simo Särkkä
8/23/1999