next up previous contents
Next: Odotusarvojen laskeminen MCMC-menetelmällä Up: Mihin tarvitaan MCMC-menetelmiä? Previous: Mihin tarvitaan MCMC-menetelmiä?

Bayesilainen päättely

Bayesilaisessa päättelyssä (Gelman et al., 1995) posteriorijakaumat $p(\theta\vert y)$ ovat usein hyvin monimutkaisia. Yksinkertaisessakin tapauksessa ongelmana on normalisointivakion p(y) laskeminen:

\begin{displaymath}
p(\theta\vert y) = \frac{p(y\vert\theta) p(\theta)}{p(y)} \propto p(y\vert\theta) p(\theta).\end{displaymath} (1)

Reunajakauman arvo p(y) voidaan periaatteessa laskea integraalina

\begin{displaymath}
p(y) = \int p(y,\theta) d\theta= \int p(y\vert\theta) p(\theta) d\theta,\end{displaymath} (2)

mutta se usein ei ole käytännössä mahdollista, koska lauseke on hyvin monimutkainen. Yleensä tilanne ei ole edes näin helppo - monissa käytännön ongelmissa tarvitaan hierakkisia todennäköisyysmalleja, jolloin mukana on hyperparametreja $\phi$:

\begin{displaymath}
p(\theta,\phi\vert y) \propto p(y\vert\theta) p(\theta\vert\phi) p(\phi),\end{displaymath} (3)

Tällöin, jos halutaan tutkia parametrin $\theta$ jakaumaa, tulisi saada laskettua integraali

Tämän integraalin arvoa tai normalisointivakiota ei yleensä saada laskettua algebrallisesti.



Simo Särkkä
8/23/1999