next up previous contents
Next: Kokonaishajontadiagnostiikka Up: Testaamattomia menetelmiä Previous: Robertsin L konvergenssidiagnostiikka

Yun L1 diagnostiikka

Olkoon $\{ \theta^{(0)}, \theta^{(1)}, \ldots , \theta^{(n)} \}$jakaumasta $p(\theta) = c \tilde{p}(\theta)$ tuotettu otos, jossa jakauma $\tilde{p}(\theta)$ tunnetaan ja c on tuntematon normalisointivakio. Yu:n (Yu, 1995) ehdottamassa diagnostikkamenetelmässä muodostetaan jakauman kernel-estimaatti hetkellä n

\begin{displaymath}
\hat{p}_n(\theta) = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^{n} K_{\tau_n}(\theta- \theta^{(t)}),\end{displaymath} (43)

jossa $K_{\tau_n}(\theta)$ on symmetrinen kerneli, jolle $\int_{
\mathbb {R}
^d} K_{\tau_n}(\theta) d\theta= 1$. Lisäksi estimoidaan normalisointivakiota seuraavasti

\begin{displaymath}
\hat{c}_\tau = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{t=1}^{n} \sum_{i \ne t...
 ...{K_\tau(\theta^{(t)} - \theta^{(i)})}{\tilde{p}(\theta^{(i)})}.\end{displaymath} (44)

Lisäksi tulee valita jokin äärellinen alue $\Omega$, jonka uskotaan kuvaavan hyvin jakaumaa $p(\theta)$, sekä aika-askel t0. Ajankohtana t=t0 estimoidaan ensin optimaalinen tarkkuus $\tau$ esimerkiksi LOO-menetelmällä tai vastaavalla. Tämän jälkeen estimoidaan L1 etäisyyttä jakaumien $p(\theta)$ ja $\hat{p}_t(\theta)$ seuraavasti

 
 \begin{displaymath}
\hat{D}_t(\Omega) = \int_{\Omega} \vert\hat{p}_t(\theta) -
 \hat{c}_{\tau_n} \tilde{p}(\theta) \vert d\theta.\end{displaymath} (45)

Tämä prosessi toistetaan ajanhetkillä $t = t_0, 2t_0, 3t_0, \ldots$kunnes arvot $\hat{D}_t(\Omega)$ asettuvat jonkin ennalta asetetun arvon alle. (Yu, 1995) ehdottaa sopivaksi arvoksi 0.3.

Ongelmana on integraalin (3.27) laskeminen. Arvon laskemiseksi tulee jakauman muoto $\tilde{p}(\theta)$ tuntea ja integraalin numeerinen laskeminen on hyvin vaikeaa useassa ulottuvuudessa. Samoin ytimen leveyden (tai tarkkuuden) määräävän parametrin $\tau$ määrääminen on laskennallisesti raskasta.



Simo Särkkä
8/23/1999